Mathematische Schönheit

Die Strukturen des Mathematikers müssen wie jene des Malers oder des Dichters schön sein; die Gedanken müssen sich wie die Farben oder die Worte harmonisch zusammenfügen, Schönheit ist der erste Prüfstein; eine hässliche Mathematik kann in der Welt nicht bestehen […] Es mag sehr schwierig sein, mathematische Schönheit zu definieren, doch dies trifft für Schönheit jeder Art zu - wir wissen vielleicht nicht genau, was wir unter einem schönen Gedicht verstehen, doch hindert dies uns nicht, es als solches zu erkennen, wenn wir es lesen.” (Hardy)¹

Es gibt zahllose mathematische Objekte - meistens geometrischer Natur - deren ästhetischer Reiz auch dem mathematischen Laien sofort ins Auge springt.

Dabei denke ich nicht an den so maßlos überschätzten goldenen Schnitt, dessen Schönheit für den Mathematiker eher gedanklich-strukturell ist, wegen seines Aufleuchtens in immer neuen Zusammenhängen: als Grenzwert des nebenstehenden Kettenbruchs, als Lösung des Problems, eine Zahl zu finden, deren Quadrat genau um 1 größer ist, als Mittel, ein Fünfeck oder ein Pentagramm zu konstruieren oder als Wert, dem die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder der Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8. 13, 21, 34, . . . zustreben.

Bessere Beispiele sind die filigranen Konstruktionen des Buckminster Fuller, von denen zumindest der Bucky-Ball größere Popularität gewonnen hat, die unendliche Vielfalt der Fraktale, ferner einige unerwartete Objekte wie Möbius-Band, Oloid oder Borromäische Ringe, dazu viele vertrackte Muster, arabische Ornamente, raffinierte Überschneidungen und der täuschend echte Eindruck wohlberechneter Perspektive.

Nicht zu vergessen, dass viele Künstler mathematische Schönheit wohl einzusetzen wussten, von den schlichten Anordnungen Piet Mondrians und den komplizierten Victor Vasarelys bis zu Maurits Eschers Virtuosität und George W. Hartes Raffinesse.

Doch hat die Schönheit solcher mathematischer Objekte in der Regel, etwas Kaltes, Steriles, Unpersönliches an sich, etwas, das uns gleichzeitig anzieht und auf Distanz hält, das uns fasziniert, ohne uns zu berühren. Sie ist sinnfällig, aber nicht sinnlich, eindrucksvoll, aber nicht spannend, sie erbaut uns, aber sie erhebt uns nicht, sie erfreut den Geist, aber wärmt nicht das Herz.

Es ist auch nicht diese Schönheit, von der das Eingangszitat handelt. Hardy spricht über „Strukturen des Mathematikers”, die schön sein müssen, nicht über einzelne geometrische Gebilde. Beispiele gefällig?

Die römische Zahlschreibweise ist nützlich, effektiv, pragmatisch. Sie erfüllt vollauf ihren Zweck, nämlich kurz und bündig Mengen, Anzahlen, Daten festzuhalten. Mehr nicht. Für eine elegantere, leichter zu handhabende, zukunftsweisende Zahlennotation musste man erst einmal auf die befremdliche Idee verfallen, dem Nichts Gestalt zu verleihen, es im Zeichen mitzuteilen, das Nicht-Vorhanden-Sein von etwas als Qualität zu charakterisieren und die Null einzuführen. - Wie lange dauerte es doch, bis CANTOR diesen Gedanken wieder aufgriff und die leere Menge als selbstverständliches Objekt in seine Konzeption der Mengenlehre einbezog! Und gleich auch noch das Unendliche strukturierte, in Stufen aufsteigen ließ und uns lehrte, mit diesen Unendlichkeiten umzugehen!

Über Ursprung und Wesen der Zahlen mag man spekulieren, die Zahlschreibweise jedenfalls ist eine Frucht jahrhundertelanger menschlicher Bemühungen. Sie ist in jeder Hinsicht ausgereift, wenn auch micht vollkommen, sie ermöglichte Fibonacci und Adam Ries, uns das Rechnen so nahe zu bringen, dass es schon Kinder auszuführen vermögen. Und sie lässt uns in der modernen wissenschaftlichen Schreibweise (4,3·10²⁵ bzw. 4,3·10^-25) die größten und die kleinsten Dinge erfassen.

Was Zahlen eigentlich sind, vermochte erstFrege zufriedenstellend darzulegen: keine Dinge oder Objekte, nicht einmal Eigenschaften von solchen, sondern Eigenschaften von Eigenschaften, Mächtigkeiten von Mengen, in denen gleichartige Objekte zusammengefasst sind. Damit sind sie Abstraktionen des menschlichen Verstandes, die wir nicht in der Welt vorfinden, sondern die wir herstellen, indem wir die Welt nach unseren Bedürfnissen einteilen, kategorisieren, katalogisieren, manipulieren. Dass es gelingt, an solchen Zahlen, an solchen wie wir gesehen haben Eigenschaften von Eigenschaften wiederum Eigenschaften, Gemeinsamkeiten, Verflechtungen zu entdecken - lässt uns die Hybris nicht erschauern, die solche Welten erschafft?

„Panta rei - alles fließt”, sagt Heraklit. Der mathematische Ausdruck dafür ist das Zahlenkontinuum, und die Struktur, die wir diesem übergestülpt haben, ist die Analysis, die Lehre von den konvergenten Zahlenfolgen, von den stetigen Funktionen, die Grenzwert-, Differential- und Integralrechnung. Es ist doch höchst verwunderlich, dass eine so gedankentiefe Weltsicht von wenigen einfachen Regeln wenn auch nicht erledigt, so doch zumindest regiert wird.

Wer sich mit der Mathematik beschäftigt, kann dort noch eine weitere Schönheit entdecken, die Schönheit, die Eleganz, die Leichtigkeit, mit der uns gewisse mathematische Beweise entzücken, besonders wenn sie einen komplexen Sachverhalt auf überraschend einfache Weise einsichtig machen.

Ein hübsches Beispiel liefert der Eulersche Polyedersatz. Polyeder, das sind aus ebenen Vielecken gebildeten Körper wie Würfel, Quader, Prismen, Pyramiden, aber auch kompliziertere Gebilde wie Dodekaeder, Kuboktaeder (siehe Abbildung) oder die im Erzgebirge hergestellten Weihnachtssterne. Ist e die Anzahl der Ecken, f der Flächen, k der Kanten, so gilt für alle diese Polyeder: e+f = k+2.

Ein Satz von unerhörter Allgemeinheit, betrifft er doch eine unüberschaubare Menge von Polyedern, von den einfachsten bis zu solchen mit Hunderten von Ecken, Kanten, Flächen in den bizarrsten Zusammensetzungen. Wie mag ein einziger kurzer Beweis dies alles auf einmal erledigen?

Wir denken uns die Kanten so elastisch, dass das ganze Gebilde flach in der Zeichenebene ausgebreitet werden kann, indem man nur die hinten liegende Fläche genügend dehnt. Aus einem Würfel wird dabei die nebenstehende Figur. Diese Figur hat eine Fläche weniger, es fehlt ja die hintere. Für sie müsste dann gelten: e+f = k+1. Das wollen wir beweisen.

Der Trick besteht darin, solche Figuren sukzessiv aufzubauen. Wir beginnen mit einem einzigen Punkt. Eine solche Figur • enthält 1 Ecke, 0 Flächen, 0 Kanten und es gilt für sie e+f = k+1. Fügen wir einer bestehenden Figur, für die der Satz bewiesen ist, einen weiteren Punkt hinzu und verbinden ihn mit einem bereits bestehenden Punkt, so erhöhen sich die Zahl der Ecken und die Zahl der Kanten um 1, während die Zahl der Flächen unverändert bleibt. Galt vorher e+f = k+1, so gilt nun (e+1)+f = (k+1)+1, d. h. auf beiden Seiten der Gleichung wird 1 addiert. So erhält man e_neu+f = k_neu+1.

Verbindet man zwei bereits vorhandene Eckpunkte, so erhält man einerseits eine neue Kante, andererseits wird eine neue Fläche erzeugt, indem entweder eine vorhandene Fläche geteilt oder außen eine neue angefügt wird. In jedem Fall erhöhen sich die Zahl der Flächen und die Zahl der Kanten um 1, während die Zahl der Ecken unverändert bleibt. Galt vorher e+f = k+1, so gilt nun e+(f+1) = (k+1)+1, wieder wurde auf beiden Seiten der Gleichung 1 addiert. So erhält man auch diesmal e+f_neu = k_neu+1. Bei jedem dieser Schritte bleibt die Beziehung erhalten, damit ist der Satz bewiesen. •

Er gilt übrigens nicht nur für die ursprünglich betrachteten Polyedernetze, sondern für alle nach diesem System herzustellenden Figuren, auch beispielsweise für Wahrscheinlichkeitsbäume oder für das Mühlespiel.