Ein Widerspruch?
Wie viele Kanten hat ein reguläres Fünfflach?
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Erste Berechnung
Es seien e, f, k die Anzahlen der Ecken, Flächen, Kanten – beim Fünfflach ist f = 5. Für diese Anzahlen gilt der
Eulersche Polyedersatz
In jeder Ecke stoßen m Kanten zusammen. Da jede Kante in zwei Ecken endet, gilt für die Zahl der Kanten
Setzt man dies in den Eulerschen Polyedersatz ein, beachtet gleichzeitig f = 5 und löst dann auf nach der Eckenzahl e, so erhält man
Da sowohl e als auch m natürliche Zahlen sind, kommen für m nur die Werte 3, 4, 5 und 8 in Betracht. Für m = 8 ergibt sich e = 1, für m = 5 ergibt sich e = 2, für m = 4 ergibt sich e = 3. Alles dies können wir ausschließen, denn mit ein, zwei oder drei Ecken kann man keinen räumlichen Körper bilden.
Zweite Berechnung
Andererseits: Jede Fläche habe n Kanten. Längs jeder Kante stoßen zwei Flächen aneinander. Also gilt
Auch k muss eine natürliche Zahl sein. Dann ist zwangsläufig n gerade und k ein Vielfaches von 5.
Wo steckt der Fehler?
Lösung:
Es gibt kein reguläres Fünfflach. Bei einem Fünfflach kann
nicht in jeder Ecke dieselbe Anzahl m von Kanten aneinander stoßen.
