Mathematik-Abitur 2002 (GK)

(u. a. Medizinischer Test)

1. Gegeben ist die Funktion
   
   Sie hat für p = 4 und q = 1 den nebenstehenden Verlauf.
   1. Für welche p, q besitzt die Funktion Nullstellen? Für welche p, q besitzt die Funktion Polstellen?
   2. Wie verhält sich die Funktion für große Werte von x ?
   3. Man zeige, dass das Bild dieser Funktion für alle reellen p, q mit p ungleich q Extremstellen besitzt bei -1 und +1! (Bei der Extremstellenuntersuchung ist nur die notwendige Bedingung zu überprüfen.) Was würde geschehen für p >= 0
   4. Wenn man die Extremwerte addiert - natürlich nur, sofern es sie gibt -, erhält man einen Wert, der von p und q abhängt. Welche Beziehung muss zwischen p q bestehen, damit diese Summe Null ergibt?
2. Von einem medizinischen Test erwartet man eigentlich absolute Zuverlässigkeit, aber dem ist nicht so. Mit der Krankheit A seien erfahrungsgemäß 2 % der Bevölkerung infiziert. Der für diese Krankheit entwickelte Test B wird bei 1% der Nicht-Infizierten (irrtümlich) positiv, bei 10% der Infizierten (irrtümlich) negativ.
   1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine beliebige Person infiziert? Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Test bei einer beliebigen Person positiv?
   2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist man infiziert, wenn bei einem selbst der Test positiv ausfällt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist man nicht infiziert, wenn bei einem selbst der Test negativ ausfällt?
   3. Reihenuntersuchungen werden nicht nur deshalb angesetzt, um möglichst vielen Personen im Frühstadium einer Krankheit eine dann noch erfolgversprechende Therapie angedeihen zu lassen. Sie dienen auch der Seuchenprophylaxe, indem sie die Ausbreitung der Krankheit in der Bevölkerung überwachen.
      Der obengenannte Test liefere bei 1,5 % der Bevölkerung ein positives Testergebnis. Wie groß ist dann der Anteil infizierter Personen?
   4. Die charakteristischen Fehler des Testes müssen irgendwann einmal erforscht worden sein. Denkbar wäre z. B., dass er an den Ergebnissen einer aufwändigen, deshalb sicheren Untersuchungsmethode gemessen wird.
      Es seien 50 infizierte Personen dem Test unterzogen worden, bei 5 Personen mit einem negativen Testergebnis. Welche Aussage erlaubt dieses Ergebnis über den Anteil negativ getesteter Personen unter den infizierten Personen? Rechne mit einer Sicherheit von 66 %, d. h. mit einer maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit von 34 %!