Mathematik-Abitur 2000 (GK)

(u. a. Pompel und Gnurpel)

1. Wir betrachten die Funktion
   

   f : x →	5
   	x 3

   Auf dem zugehörigen Funktionsgraphen sei im ersten Quadranten ein Punkt Q (u; 5/u³) (u > 0) festgelegt. Im Punkt Q sei an den Funktionsgraphen die Tangente t gezeichnet (vgl. Abb.).
   
   1. Zeigen Sie: Die genannte Tangente wird beschrieben durch die Funktion

      t : x → –	15	· x +	20
      	u 4		u 3

   2. Wie lang ist derjenige Abschnitt auf der Tangenten t, der von den Koordinatenachsen begrenzt wird? Für welches u > 0 ist dieser Tangentenabschnitt möglichst klein?
   3. Unabhängig von der Wahl des u in Aufgabe 1b) teilt Q den dort angesprochenen Tangentenabschnitt immer in demselben Verhältnis. Weisen Sie dieses nach!
   4. Zwischen der zu f gehörenden Kurve und der x-Achse erstreckt sich von x = u bis x = ∞ ein Flächenstück. (Man erhält es, indem man zunächst die Fläche bis zu einer oberen Grenze z bestimmt und anschließend z gegen ∞ streben lässt.) Welcher Bruchteil dieses Flächenstücks liegt unterhalb der Tangente t?
   
   
2. In einem märchenhaften Land leben miteinander die Pompel und die Gnurpel, die sich äußerlich überhaupt nicht unterscheiden. Unterschiedlich ist nur ihre Wahrheitsliebe. Auf Fragen geben die Pompel in 70% der Fälle die richtige Antwort, während die Gnurpel in 70% der Fälle lügen. Man darf einem zufällig des Weges kommenden acht Fragen stellen (zu denen man die richtige Antwort kennt) und soll ihn dann als Pompel oder Gnurpel einschätzen.

   zu Aufgabe 2

   k	b(8; 0,3; k)	B(8; 0,3; k)
   0	0,0576	0,0576
   1	0,1977	0,2553
   2	0,2965	0,5518
   3	0,2541	0,8059
   4	0,1361	0,9420
   5	0,0467	0,9887
   6	0,0100	0,9987
   7	0,0012	0,9999
   8	0,0001	1,0000

   1. Für Ihre Arbeit an diesem Problem benötigen Sie eine Tabelle der relevanten Verteilungsfunktion. Sie ist nebenstehend wiedergegeben. Erläutern Sie die Herstellung dieser Tabelle!
   2. Formulieren Sie die Hypothesen und berechnen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeiten für den Fall, dass ein Befragter bei vier oder mehr richtigen Antworten als Pompel eingeschätzt wird!
   3. Wie ist das Entscheidungskriterium zu wählen, wenn
      1. die Entscheidung so oft wie möglich richtig sein soll,
      2. eine fälschliche Einschätzung als Gnurpel besonders beleidigend ist und ein solcher Fehler doppelt schwer wiegt,
      3. die Entscheidung für Gnurpel nur in etwa 5% aller Fälle falsch sein darf und ansonsten Fehler ebenfalls so weit wie möglich vermieden werden sollen?
   4. Welche Voraussetzung muss erfüllt sein, damit folgende Aussage über Binomialverteilungen zutrifft:
      b(n; p; k) = b(n; p; n-k) ?