Iterationen

(Mathematik, Kl, 9)

1. Nehmen wir an, wir seien jedes Jahr in der Lage, einen Betrag von x € zurückzulegen. Es sollen die auf diesem Wege erreichten Endbeträge nach 8 Jahren, 12 Jahren und 20 Jahren ermittelt werden. Um den Umgang mit dem Tabellenkalkulationsprogramm CELLSHEET unter Beweis zu stellen, soll jede Teilaufgabe mit seiner Hilfe bearbeitet werden.

   x = 850,--.

   x = 750,--.

   1. Das Geld wird ohne Zinsen in den Sparstrumpf gesteckt.
   2. Das Geld wird zu 2,4 % Zinsen bei einer Bank angelegt.
   3. Das Geld wird bei einer anderen Bank zu 2,75 % Zinsen angelegt.
   4. Nach wieviel Jahren hat sich bei c) ein Betrag von 10 000,-- € angesammelt?
2. Wenn man nicht so lange warten will, bis sich ein Betrag von 10 000,-- € angesammelt hat, kann man sich das Geld in Form einer Hypothek von der Bank leihen. Dann allerdings muss man selber an die Bank Zinsen zahlen. Die zu zahlenden Zinsen errechnen sich jeweils aus der noch verbleibenden Restschuld. Einerseits erhöht sich also die Restschuld in jedem Jahr um die anfallenden Zinsen, andererseits verringert sie sich um die eingezahlte Jahresrate. Die Jahresrate beträgt

   x = 650,--.

   x = 600,--.

   und der Zinssatz 4,2 %.
   1. Wir groß ist die Restschuld nach 8, 12 und 20 Jahren?
   2. Wann ist die Hypothek vollständig zurückgezahlt?
   3. Welche Rate müsste jährlich aufgebracht werden, um die Hypothek in 20 Jahren restlos abzutragen?
3. Ein Gefäß mit 100 °C heißem Wasser wird zum Abkühlen stehen gelassen. Die Raumtemperatur beträgt

   24 °C.

   22 °C.

   Zu Anfang beträgt die Temperaturdifferenz also

   100 °C ­- 24 °C = 76 °C.

   100 °C ­- 22 °C = 78 °C.

   Der verbleibende Temperaturunterschied verringert sich in jeder Minute um 20 %. Die neue Temperatur errechnet sich also aus der alten nach folgender Formel:

   tempneu = tempalt - proz · (tempalt - tempend).

   1. Wie entwickelt sich die Temperatur von Minute zu Minute?
   2. Nach welcher Zeit hat sich die Temperaturdifferenz halbiert?
   3. Wann beträgt der Unterschied zwischen Wassertemperatur und Raumtemperatur weniger als 1 °C?
4. Zur Erinnerung: Beim HERON-Verfahren zum Wurzelziehen versucht man, zwei Zahlen zu finden, die erstens miteinander multipliziert den Radikanden ergeben und zweitens möglichst nahe beieinande liegen.
   1. Bestimme mithilfe einer geeigneten CELLSHEET-Tabelle nach dem HERON-Verfahren die Wurzeln aus

      7, 9 und 111.

      3, 4 und 119.

   2. In welcher Tabellenzeile wird in der zweiten Teilaufgabe der exakte Wert erreicht?
5. Eine mathematisch interessante Iteration erhält man, wenn man, mit 1 beginnend, jeweils zum letzten Wert den Kehrwert bildet und noch 1 hinzuaddiert. (Man nennt den so gebildeten Zahlenwert den „goldenen Schnitt”, und dieser spielt unter anderem in der Kunst eine Rolle.) Stelle die Iteration auf!
   1. Wie lauten die ersten drei Glieder dieser Iteration?
   2. Bei welchem Wert stabilisiert sich die Iteration?
   3. Stellt man den Rechner um in den EXACT-Modus, macht man eine überraschende Entdeckung. Welche?