Wachstum

(Mathematik, Kl. 10)

Die Weltbevölkerung hat sich seit 1750 wie in Abbildung 1 aufgelistet entwickelt. Die Entwicklung ist in Abbildung 2 grafisch dargestellt. Der Einfachheit halber habe ich 1750 als das Jahr 1 der Untersuchung bezeichnet. Grafisch dargestellt sind also die Spalten 'c2' und 'c3' der Tabelle. Man erkennt in der Abbildung 2, dass die Entwicklung bei 1950 einen eigenartigen Knick aufweist. Das ist nicht schön.

1. Welche Art von Wachstum könnte vorliegen und warum? (2 Punkte)
2. Man kann versuchen, durch den ersten und letzten Punkt der Tabelle eine Wachstumskurve zu legen. Ich habe das in Abbildung 3 getan mithilfe der Rekursion
   u₁(n)=u₁(n-1) + 0,00824·₁(n-1);
   ui₁=791.
   Aber diese Kurve passt offensichtlich nicht besonders gut zu den Punkten. Wie groß ist die Abweichung zwischen dem Tabellenwert und dem theoretischen Wert im Jahre 1950? (3 Punkte)
3. Besser ist es, die Entwicklung in zwei Kurven aufzuteilen. Die erste ist in Abbildung 4 dargestellt und entspricht den Werten von 1750 bis 1950. Drücke diese Kurve durch eine Rekursion aus! Wie viel Prozent beträgt der jährliche Zuwachs? (5 Punkte)
4. Drücke dieselbe Entwicklung wie in c) durch eine geschlossenen Funktion aus! (3 Punkte)
5. Welche Weltbevölkerung ergäbe dieses Modell für das Jahr 2000? (2 Punkte)
6. Die Entwicklung von 1950 bis 2000 müsste dann wie in Abbildung 5 durch eine steilere Kurve beschrieben werden, beispielsweise durch die Rekursion
   u₃(n)=u₃(n-1) + 0,018·u₃(n-1);
   ui₃=71.
   Welche unterschiedlichen Voraus­sagen machen Kurve 1 und Kurve 3 für das Jahr 2020? (4 Punkte)
7. Die Bevölkerungszahlen von 1750 bis 1950 lassen sich mit etwas Großzügigkeit wie in Abbildung 6 auch als ein lineares Wachstum interpretieren. Gib eine entsprechende Rekursion an! (2 Punkte)
8. Die in 7) konstruierte Rekursion weicht für die Jahre 1850 und 1900 vermutlich von den tatsächlichen Werten lt. Tabelle und auch von den aufgrund von Kurve 2 errechneten theoretischen Werten ab. Wie groß sind diese Abweichungen? (6 Punkte)
9. Kannst du einen möglichen Grund angeben für die Veränderung des Wachstums ungefähr beim Jahr 1950? (3 Punkte)