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Neun hoch neun hoch neun
Die größte Zahl, die sich mit drei Ziffern durch Potenzieren erzeugen lässt, ist
u = 999
(u wie unheimlich riesig). Sie überschreitet die Darstellungsfähigkeit aller mir bekannten Taschenrechner, viele Computerprogramme behelfen sich mit Ersatzdarstellungen wie
u = 3774 840 978 oder
u = e8,512 498 201 94·108.
Trotzdem lässt sich einiges über diese Zahl herausfinden.
- Wie lautet die letzte Ziffer von u ?
- Wie lauten die beiden letzten Ziffern von u ?
- Wie lauten die drei letzten Ziffern von u ?
- Wie viele Stellen besitzt u ?
- Wie lautet die erste Ziffer von u ?
- Wie lauten die ersten beiden Ziffern von u ?
- Kann man eine ungefähre Abschätzung für u angeben?
- Was ist die Primfaktorzerlegung von u ?
- Es ist 99 = 387 420 489, also u = 9387 420 489. Die Potenzen von 9 enden abwechselnd auf 9 und auf 1, die ungeraden Potenzen auf 9, die geraden auf 1. 9387 420 489 endet auf 9.
- Die ersten zehn Potenzen enden auf .9, ..81, ..29, ..61, ..49, ..41, ..69, ..21, ..89 und ..01. Danach geht es wieder von vorne los. 9387 420 489 endet deshalb auf ..89.
- Lässt man sich mit einem Tabellenkalkulationsprogramm die drei letzten Ziffern der ersten einhundert Potenzen von 9 ausgeben, sieht man, dass 9100 auf ..001 endet und es danach wieder vorn vorne losgeht. 9387 420 489 endet also wie 989 mit ..289.
- Wir lösen diese Aufgabe mit Zehnerlogarithmen. Es ist lg(9) = 0,954 242 509 439 201 8 und lg(9387 420 489) = lg(9) · 387 420 489 = 369 693 099,631 522 6. Die Vorkommazahl gibt die Anzahl der Stellen an. 9387 420 489 besitzt 369 693 100 Stellen. Auf Rechenpapier geschrieben wäre diese Zahl rund 1848 Kilometer lang.
- Die Mantisse des Zehnerlogarithmus gibt die Ziffernfolge an. Es ist 100,631 522 6 = 4,28.. Die erste Ziffer von u ist 4,
- und die zweite Ziffer ist 2.
- Eine ungefähre Abschätzung für u ist also 4,28·10369 693 099. Kein Wunder, dass das die Fähigkeiten gängiger Rechenhilfsmittel übersteigt.
- Schon in der Aufgabenstellung ist für u die Darstellung 3774 840 978 erwähnt. Das ist die gesuchte Primfaktorzerlegung.