Wahrscheinlichkeit

(Mathemtik, Kl. 9)

1. Bergsteiger SORGLOS benutzt ein Seil mit 3 einigermaßen verlässlichen Knoten: jeder Knoten hält mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 %.
   1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stürzt SORGLOS ab?
   2. Bergsteiger ÄNGSTLICH hat zwei der Knoten nachträglich fixiert, so dass sie mit 99,9 % Wahrscheinlichkeit halten. Leider hat er übersehen, dass der dritte Knoten sich ein wenig gelockert hat und nur noch mit der Wahrscheinlichkeit 98 % hält. Ist ÄNGSTLICH besser dran?
2. Bergsteiger VORSICHTIG möchte die Wahrscheinlichkeit eines Absturzes auf unter 0,1 % drücken. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss dann jeder seiner drei Knoten halten (die Wahrscheinlichkeit soll für alle drei Knoten dieselbe sein)?
   (Anmerkung: Echte Bergsteiger benutzen niemals (!!!) Seile mit Knoten.)
3. Bestimme folgende Wahrscheinlichkeiten für eine Binomialverteilung:
   1. P(X ≤ 15)_{N=50; p=0,33} ;
   2. P(X < 20)_{N=80; p=0,18} ;
   3. P(X ≥ 78)_{N=100; p=0,75} !
4. Ein Obsttransport ist verunglückt, ein Drittel der transportierten Äpfel sind beschädigt. Sie werden zum halben Preis verkauft. Das rechnet sich für mich natürlich nur, wenn mehr als die Hälfte der gekauften Äpfel heil geblieben sind.
   1. Wie groß ist eigentlich die Wahrscheinlichkeit, dass von 25 gekauften Äpfeln mehr als die Hälfte unversehrt ist?
   2. Und wie ist es, wenn ich 100 Äpfel nehme?
5. Zeige: Für Binomialkoeffizienten gilt
   1. (23 über 7) = (23 über 16) ;
   2. (N über k) = (N über (N-k)) ;
      wobei N und k beliebige natürliche Zahlen sind mit N ≥ k.