Abitur GK Mathematik ‘04

  1. Gegeben ist die Funktion
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    Der Kurvenverlauf ist aus der untenstehenden Grafik ersichtlich.
    1. Wo liegen die Wendepunkte der Funktion f ?
    2. Wie müsste der Funktionsterm abgewandelt werden, damit sich eine Funktion g ergibt, deren Wendepunkte in (-1 | 1) und (1 | 1) liegen?
    3. Zeige: die markierte Fläche unter der Kurve zu f (mit den Grenzen x = 0 und x = 1) ist genau so groß wie die Fläche des angedeuteten Viertelkreises, dessen Mittelpunkt in O liegt und der den Radius 1 besitzt!
    4. Wo schneidet die Kurve zu f den genannten Viertelkreis?
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  2. Es soll der Anteil der Straftaten in einzelnen Bevölkerungsgruppen analysiert werden. Dazu werden ein Stadtteil X und ein Stadtteil U untersucht. Verglichen werden inländische und ausländische Bewohner im Hinblick darauf, ob sie straffällig geworden sind. (Wie man den Zahlen unschwer ansieht, handelt es sich um erfundene Angaben.)
    zu Aufgabe 2: Kriminalstatistik
    Einwohner Straffällige
      X U   X U
    Inl. 1000 4000 Inl. 100 700
    Ausl. 4000 1000 Ausl. 520 200
    1. Welche relativen Häufigkeiten lassen sich hieraus ermitteln? Es brauchen nicht alle Möglichkeiten ausgeschöpft werden, aber richte dein Augenmerk schon hier auf die Aufgabe 2)b !
    2. Erläutere anhand des vorgelegten Zahlenmaterials das Wesen des SIMPSONschen Paradoxons!
    3. Wenn wir annehmen, dass die Gesamtheit der Bewohner eine Zufallsstichprobe darstellt, lässt sich aus der Tabelle eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit ermitteln, mit der irgendein Bewohner straffällig wird. Führe eine solche Abschätzung durch!
    4. In der Formelsammlung ist die Standardnormalverteilung φ(x) abgebildet. Skizziere die zugehörige kumulierte Funktion Φ(x) und begründe ohne Rechnung, dass letztere bei x = 0 einen Wendepunkt besitzt!
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