Widerspruch


Home Persönl. Mathem. Schule Downl./Li. Sitemap Register Impress. Chor

Wie viele Kanten hat ein reguläres Fünfflach? 1)

Es seien e, f, k die Anzahlen der Ecken, Flächen, Kanten – beim Fünfflach ist f = 5. Für diese Anzahlen gilt der neben (1K) Eulersche Polyedersatz

e + f = k + 2 .

In jeder Ecke stoßen m Kanten zusammen. Da jede Kante in zwei Ecken endet, gilt für die Zahl der Kanten

k = e · m .
  2  

Setzt man dies in den Eulerschen Polyedersatz ein, beachtet gleichzeitig f = 5 und löst dann auf nach der Eckenzahl e, so erhält man

e + 5 = e · m + 2 ,
  2  
e =   6   .
m 2

e und m müssen natürliche Zahlen sein, deshalb kommen hier für m nur die Werte 3, 4, 5 und 8 in Betracht. Für m = 8 ergibt sich e = 1, für m = 5 ergibt sich e = 2, für m = 4 ergibt sich e = 3. Alles dies können wir ausschließen, denn mit ein, zwei oder drei Ecken kann man keinen räumlichen Körper bilden.

  m = 3 , e = 6 , k = 9 .

Andererseits: Jede Fläche habe n Kanten. Längs jeder Kante stoßen zwei Flächen aneinander. Also gilt

k = f · n = 5 · n .
  2     2  

Auch k muss eine natürliche Zahl sein. Dann ist zwangsläufig n gerade und k ein Vielfaches von 5.

  k 9 .

Wo steckt der Fehler?



1) Die Anregung zu dieser Aufgabe verdanke ich: Meschkowski, Herbert, Wandlungen mathematischen Denkens, München: Piper, 1985, ISBN 3-492-02949-3, S. 47
© Lothar Melching Letzte Änderung: 25.6.2011 zum Seitenanfang